В равнобедренной трапециии центр вписанного круга находится от вершины верхнего основания на расстоянии 3, а от вершины нижнего основания на чему р

в равнобедренной трапециии центр вписанного круга находится от вершины верхнего основания на расстоянии 3, а от вершины нижнего основания на 4. чему равна площадь круга, вписанная в трапецию?

     
    радиус вписанной окружности=5tg30=5корень из3/3 
    расстояние от вершины меньшего основания до центра окружности=r/sin60=(5корень из3/3)/ (корень из3/2)=10/3 

  • Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

    1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD);
    2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;
    3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º;
    4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу.
    5) треугольник СОD (по теореме Пифагора):
    CD^2 = CO^2 + OD^2
    CD = корень [CO^2 + OD^2] = корень [3^2 + 4^2] = 5
    6) Обозначим  CF = m
    тогда FD = 5-m
    OF = r (радиус)
    Треугольник СFО (по теореме Пифагора):
    r^2 + m^2 = OC^2  
    r^2 + m^2 = 3^2  
    откуда r^2 = 9 - m^2   

    7) Треугольник ОFD (по теореме Пифагора):
    r^2 + (5-m)^2 = OD^2  
    r^2 + (5-m)^2 = 4^2  
    Подставим из 6):
    9 - m^2  +  (5-m)^2 = 4^2  
    9 - m^2  +  5^2 - 2*5*m + m^2 = 4^2  
    9  +  25 - 10m = 16
    10m = 18
    m = 1.8

    8) Подставим результат в 6):
     r^2 = 9 - m^2 = 9 - 1,8^2 = 5,76

    9) площадь круга S = П*r^2 = 5,76П ~ 18,096

  • вроде так