Два электрода в виде металлических шариков радиусом r=5 мм помещены в среде, удельное сопротивление которой 1*10^10 Ом*м. Расстояние между центрами ш

Два электрода в виде металлических шариков радиусом r=5 мм помещены в среде, удельное сопротивление которой 1*10^10 Ом*м. Расстояние между центрами шариков 10 см. Найти сопротивление среды между электродами

  • Дано:

    r = 5 мм = 5•10-3 м,
    А = 10 см = 1•10-1 м,
    ρ = 1•1010 Ом•м.
    Найти R.

    Решение.
    Среда слабо проводящая, можно считать, что проводимость шариков yfмного больше проводимости среды. Тогда можно спокойно пренебречь изменениями потенциала внутри шарика и считать, что все точки шарика имеют один и тот же постоянный потенциал, который обозначим φ1 и φ2.
    Полный ток между шариками I = Φ•j dS = (1 / ρ) ΦE dS. 
    По теореме Гаусса Φ dS = q / εε0 = C (φ1 - φ2) / εε0
    где С - емкость конденсатора, получившегося из двух шариков, ε0 - электрическая постоянная.
    Тогда получим I = C (φ1 - φ2) / ρεε0 . [1]
    В тоже время по закону Ома I = (φ1 - φ2) / R. [2]
    Из уравнений [1] и [2] можно вывести равенство С (φ1 - φ2) / ρεε0 = (φ1 - φ2) / R.
    Отсюда получаем R = ρεε0 / C. [3]
    Также понятно, что емкость конденсатора, составленного из двух шаров радиусом r, находящихся в среде с проницаемостью ε на расстоянии А >> друг от друга равна:
    С = 2πεε0r. [4]
    Подставляем [4] в [3] и получаем:
    R = ρεε0 / C = ρεε0 / 2πεε0r = ρ / 2πr.
    Остается только подставить значения в ответ.
    R = 1•1010 / 2•3,14•5•10-3 ~3•1011 Ом.

    Ответ: R = 3•1011 Ом.