Пользуясь определением производной вывести формулу дифференцирования функции y=корень квадратный1+2х

пользуясь определением производной вывести формулу дифференцирования функции y=корень квадратный(1+2х)

  • Производная по определению - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

    То бишь: y'= limΔx->0 (Δy/Δx)

    Δy = f(x+Δx) - f(x) = √(1+2(x+Δx)) - √(1+2x) = √(1+2x+2Δx) - √(1+2x)

    Преобразуем выражение, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

    (√(1+2x+2Δx) - √(1+2x))(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x)) = (1+2x+2Δx - 1 -2x)/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))= (2Δx)/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))

    Δy/Δx = 2/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))

    limΔx->0 (2/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x)) = 2/(√(1+2x) + √(1+2x)) = 2/(2√(1+2x) = 1/√(1+2x)

    Ответ: y' = 1/√(1+2x)